Продолжительность:

Тренировочные варианты «Школково». Основная волна. Реальные варианты ЕГЭ 2015

В 2018 году на ЕГЭ по математике появились задачи, напугавшие многих выпускников. «Это страшно, — говорили они после экзамена. — Никогда такого не было. Решить невозможно».

Конечно же, я сочувствую абитуриентам, для которых ЕГЭ – все-таки большой стресс. Экзамен – это испытание не только знаний, но и хладнокровия, и способности действовать в сложной ситуации. И может быть, сказать себе: «Да, задача необычная, но я знаю общий подход к решению таких задач – справлюсь и на этот раз».

Действительно ли настолько страшны были «банковские» задачи на ЕГЭ по математике 2018 года? Они своеобразны. Их невозможно решить без подготовки, без знания того, как вообще устроены задачи ЕГЭ на кредиты.

Запомним: есть всего два характерных типа «банковских» задач, или задач на кредиты.

1 тип. Выплаты кредита производятся равными платежами. Эта схема еще называется «аннуитет». К первому типу относятся также все задачи, где известны платежи (или дана закономерность именно для платежей).

2 тип. Выплаты кредита подбираются так, что сумма долга уменьшается равномерно. Это так называемая «схема с дифференцированными платежами». Ко второму типу относятся также задачи, где известна закономерность уменьшения суммы долга.

О двух схемах решения задач на кредиты – мой краткий теоретический материал.

Более подробно я рассказываю теорию и решаю такие задачи на своих мастер-классах и интенсивах. Чтобы узнать о них, подпишись на нашу рассылку.

Посмотрим с этой точки зрения на «банковские» задачи ЕГЭ-2018.

1.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей?

Прежде всего, введем переменные. Расчеты будем вести в тысячах рублей.

Пусть S – сумма, которую планируется взять в кредит,

Z – общая сумма выплат, Z = 1604 (тыс. рублей).

Х — ежемесячное уменьшение суммы долга, Х = 30 (тысяч рублей),

p=3% — процент, начисляемый банком ежемесячно. После первого начисления процентов сумма долга равна После каждого начисления процентов сумма долга увеличивается в раза. В нашей задаче k = 1,03.

Определим, к какому типу относится задача. Долг уменьшается равномерно (по условию, 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца). Значит, это задача второго типа. А в задачах второго типа мы рисуем следующую схему:

После первого начисления процентов сумма долга равна kS. Затем, после первой выплаты, сумма долга равна S – X, где Х = 30 (тысяч рублей).

Значит, первая выплата равна kS – (S – X) (смотри схему).

Вторая выплата: k (S – X ) – ( S – 2X).

Последняя выплата: k ( S – 20 X).

Найдем общую сумму выплат Z.
Z = kS – (S – X) + k (S – X ) – ( S – 2X) + … + k ( S – 20X) =
= k ( S + S – X + S – 2X + … + S – 20 X) – ( S – X + S – 2X + … + S – 20X).

Мы сгруппировали слагаемые, содержащие множитель k, и те, в которых нет k.

Упростим выражения в скобках:
k (21S – X (1 + 2 + 3+ … + 20)) – (20S – X (1 + 2 + 3+ … + 20)) = Z.

В задачах этого типа (когда сумма долга уменьшается равномерно) применяется формула для суммы арифметической прогрессии:

В этой задаче мы тоже ее используем.

Получим:

k (21 S – 210X ) – 20 S + 210 k = S (21k – 20) – 210 X (k-1) = Z.

Осталось подставить числовые значения.

S ( 21⋅ 1,03 – 20) – 210 ⋅ 30 ⋅ 0,03 = 1604.

Отсюда S = 1100 тысяч рублей = 1 100 000 рублей.

Следующая задача относится к тому же типу. Математическая модель та же самая. Только найти нужно другую величину – процент, начисляемый банком. К тому же количество месяцев, на которое взят кредит, неизвестно.

2.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 1 000 000 рублей на (n+1) месяц. Условия его возврата таковы:
—1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;
— к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.

Как всегда, введем обозначения. Для удобства ведем расчеты в тысячах рублей.

S = 1000000 рублей = 1000 (тыс. рублей) – сумма кредита,

Х = 40 (тыс. рублей) – ежемесячное уменьшение суммы долга,

Z = 1378 (тыс. рублей) – общая сумма выплат,

— коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов.

Рисуем уже знакомую схему погашения кредита.

Первая выплата: kS – (S – X).

Вторая выплата: k (S – X ) – ( S – 2X).

Последняя выплата: k ( S – n X).

По условию, 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей.

Значит, S – nX = 200. Подставим числовые данные:

1000 – 40 n = 200; тогда n = 20, n + 1 = 21, то есть кредит был взят на 21 месяц. Очень удобно – количество месяцев в этой задаче оказалось таким же, как в предыдущей. Поэтому очень кратко повторим основные моменты решения

Общая сумма выплат Z:

Z = kS – (S – X) + k (S – X ) – ( S – 2X) + … + k ( S – X) =
= k ( S + S – X + S – 2X + … + S – 20 X) – ( S – X + S – 2X + … + S – 20X) =
= k (21S – X (1 + 2 + 3+ … + 20)) – (20S – X (1 + 2 + 3+ … + 20)) =
= k (21 S – 210X ) – 20 S + 210 k = S (21k – 20) – 210 X (k-1).

Мы снова использовали ту же формулу для суммы арифметической прогрессии:

По условию, Z = 1378 (тыс. рублей).

Выразим k из формулы S (21k – 20) – 210 X (k-1) = Z:

Подставим данные из условия задачи.

Ответ: r = 3%.

Третья задача из числа «кошмаров» ЕГЭ-2018 по математике. Та же схема!

3.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 300 тысяч рублей на 21 месяц. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;
— к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

Тоже задача второго типа – есть информация об уменьшении суммы долга. Точно также будем вести расчеты в тысячах рублей.

Как всегда, введем обозначения. Для удобства ведем расчеты в тысячах рублей.

S = 300 (тыс. рублей) – сумма кредита,

n = 21 – количество месяцев,

r = 2%; ;

Х – ежемесячное уменьшение суммы долга,

Z – общая сумма выплат.

Рисуем ту же схему, что и в предыдущей задаче. По условию, 15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тысяч рублей.

Значит, S – 20 X = 100. Подставив данные из условия, найдем, что Х = 10.

Точно так же считаем сумму выплат (смотри задачи 1 и 2).

Z = S (21k – 20) – 210 X (k-1).

Подставляем данные из условия: Z = 300 (21 ⋅ 1,02 – 20) – 210 ⋅ 10 ⋅ 0,02 = 384 (тыс. рублей).

Ответ: 384000 рублей.

Хочешь узнать решения всех сложных задач ЕГЭ? Подпишись на нашу рассылку.

ВИДЕО ПО ТЕМЕ: ЕГЭ 2020 Ященко 15 вариант ФИПИ школе полный разбор!

А остальные планируют порадовать членов семьи и друзей косметикой, игрушками и За 11 месяцев объем кредитов населению вырос на 36% — до 7.

ВИДЕО ПО ТЕМЕ: Решение всех задач 17 из реального профильного ЕГЭ по математика 2018.

Экономическая задача на ЕГЭ 1 июня → №17 профильного ЕГЭ

С 2015 года экзамен по математике стал двухуровневым. В экзаменационную работу для профильного уровня входит “банковская” задача (№17).

Предлагаю решения некоторых “банковских” задач.

Тексты задач взяты из сборника: ЕГЭ-2016: Математика: 30 вариантов экзаменационных работ для подготовки к единому государственному экзамену: профильный уровень / под ред. И. В. Ященко. – Москва: АСТ: Астрель, 2016 [1].

Предполагается использование данного материала во внеклассной работе по математике с учащимися 10-11 классов.

Задача №1

15 января планируется взять кредит в банке на сумму 1,2 млн. рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму нужно вернуть банку в течение первого года (первых 12 месяцев) кредитования?

Решение

1) Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют 1 200 000:24 = 50 000 (руб.). За 12 месяцев нужно выплатить 600 000 рублей (без процентов).

2) Подсчитаем, какую сумму составляют проценты за первые 12 месяцев.

1 200 0000,01 + 1 150 000 0,01 + 1 100 000 0,01 + … +650 0000,01 =

= 0,01(1 200 000 + 1 150 000 + 1 100 000 + … + 650 000) =

= 120,01=11 100 0000,01=111 000 (руб.).

3) 600 000 + 111 000 = 711 000(руб.) – сумма, которую нужно вернуть банку в течение первого года.

Ответ: 711 000 рублей

Задача №2

15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение первого года (первых 12 месяцев) кредитования нужно вернуть банку 933 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение второго года (последних 12 месяцев) кредитования?

Решение

1) Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют Х рублей.

Сумма кредита составляет (24Х) рублей. За 12 месяцев нужно выплатить (12Х) рублей (без процентов).

2) Пусть Р – сумма, которую составляют проценты за первые 12 месяцев.

Составим и решим уравнение: 933 000 = 12Х + Р.

Р

= (24Х + 23Х +…+ 13Х) 0,03 = 120,03 = 37Х0,18 = 6,66Х;

933 000 = 12Х + 6,66Х;

933 000 = 18, 66Х;

Х

= 50 000.

Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют 50 000 рублей.

3) 50 000 12 = 600 000 (руб.) нужно вернуть банку в течение второго года (без процентов).

Подсчитаем, какую сумму составляют проценты за последние 12 месяцев.

(12Х + 11Х + … + Х) 0,03 = 120,03 = 13Х0,18 = 2,34Х;

2,2450 000=117 000 (руб.)

4) 600 000 + 117 000 = 717 000 (руб.) – сумма, которую нужно вернуть банку в течение второго года.

Ответ: 717 000 рублей

Задача №3

15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение второго года (последних 12 месяцев) кредитования нужно вернуть банку 798,75 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение первого года (первых 12 месяцев) кредитования?

Решение

1) Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют Х рублей. Сумма кредита составляет (24Х) рублей. За 12 месяцев нужно выплатить (12Х) рублей (без процентов).

2) Пусть Р – сумма, которую составляют проценты за последние 12 месяцев.

Составим и решим уравнение: 798,75 = 12Х + Р.

Р

= (12Х+11Х+…+Х) 0,01 = 120,01 = (12Х + Х) 0,06 = 0,78Х;

798 750 = 12Х + 0,78Х; 798 750 = 12,78Х; Х = 62 500.

Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют 62 500 рублей.

3) 62 50012 = 750 000 (руб.) нужно вернуть банку в течение первого года (без процентов).

Подсчитаем, какую сумму составляют проценты за первые 12 месяцев.

(24Х + 23Х + … +13Х) 0,01 = 120,01 = 3760,01Х = 2,2262 500 = 138 750 (руб.)

4) 750 000 + 138 750 = 888 750 (руб.) – сумма, которую нужно вернуть банку в течение первого года.

Ответ: 888 750 рублей

Задача №4

15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение первого года (месяцев первых 12) кредитования нужно вернуть банку 1399,5 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

Решение

1) Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют Х рублей

Сумма кредита составляет (24Х) рублей. За 12 месяцев нужно выплатить (12Х) рублей (без %).

2) Пусть Р – сумма, которую составляют проценты за первые 12 месяцев.

Составим и решим уравнение: 1 399 500 = 12Х + Р.

Р

= (24Х + 23Х +…+ 13Х)0,03=120,03=(24Х + 13Х)0,18 = 6,66Х;

1 399 500 = 12Х + 6,66Х;

1 399 500 = 18, 66Х;

Х

= 75 000.

Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют 75 000 рублей.

3) 75 00024 = 1 800 000 (руб.) — сумма планируемого кредита.

Ответ: 1 800 000 рублей

Задача №5

15 января планируется взять в кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение второго года (последних 12 месяцев) кредитования нужно вернуть банку 1695 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

Решение

1) Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют Х рублей.

Сумма кредита составляет (24Х) рублей. За 12 месяцев нужно выплатить (12Х) рублей (без процентов).

2). Пусть Р – сумма, которую составляют проценты за первые 12 месяцев.

Составим и решим уравнение: 1 695 000 = 12Х + Р.

Р

= (12Х + 11Х +…+ Х)0,02 = 120,02 = 13Х0,12 = 1,56Х;

1 695 000= 12Х + 1,56Х;

1 695 000 = 13, 56Х;

Х

= 125 000.

Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют 125 000 рублей.

3) 125 00024 = 3 000 000 (руб.) — сумма планируемого кредита.

Ответ: 3 000 000 рублей

Задача №6

15 января планируется взять в кредит в банке на 9 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что на пятый месяц (со 2 по 14 июня) кредитования нужно выплатить банку 44 тыс. рублей. Какую сумму нужно выплатить банку в течение всего срока кредитования?

Решение

1) Ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют Х рублей. Сумма кредита составляет (9Х) рублей (без процентов).

2) Пусть р – сумма, которую составляют проценты на пятый месяц кредитования.

Составим и решим уравнение: 44 000 = Х + р.

За пять месяцев сумма кредита составит (5Х) руб.

На пятый месяц проценты составят р = 5Х0,02 = 0,1Х (руб.).

Тогда 44 000 = Х + 0,1Х; 44 000 = 1,1Х;

Х

= 40 000 (руб.) составляет сумма ежемесячных выплат (без процентов).

Сумма кредита составляет 40 0009 = 360 000(руб.)

3) Подсчитаем сумму, которую составляют проценты за весь период:

(9Х + 8Х +…+ Х) 0,02 = 90,02 = 10Х0,09 = 0,9Х;

0,940 000 = 36 000(руб.)

4) 360 000 + 36 000 = 396 000(руб.) — сумма, которую нужно выплатить банку в течение всего срока кредитования.

Ответ: 396 000 рублей

Задача №7

15 января планируется взять кредит в банке. Условия его возврата таковы:

– 1-го января каждого года долг возрастает на a% по сравнению с концом предыдущего года;

– выплата части долга происходит в январе каждого года после начисления процентов.

Если переводить в банк каждый год по 2 073 600 рублей, то кредит можно выплатить за 4 года. Если переводить по 3 513 600 рублей, то за 2 года.

Найдите a.

Решение

+++=+, 1+0,01a0.

20736+++= 35136+;

+-14400 = 0. Пусть 1+0,01a = х;

+-14400 = 0;

20736(1+х) — 14400х2(1+х) = 0;

(1+х)(20736 — 14400 х2) = 0;

1+х = 0 20736 — 14400 х2 = 0; х2 = 1,44;
х = -1 х1 = — 1,2, х2 =1,2.
1) 1+0,01a = -1; 2) 1+0,01a = — 1,2; 3) 1+0,01a =1,2;
0,01a = -2; 0,01a =2,2; 0,01a = 0,2;
а = -2 (не имеет смысла). а = — 220.(не имеет смысла). а = 20

Ответ: 20%

Использована формула [2]: если вклад на Х рублей полностью расходуется за n ежегодных выплат, равных v1 ,v2 ,…, vn , осуществлённых после начисления р % по вкладу, то

Х = ++…+.

Задача №8

15 июля взяли кредит в банке. Условия его возврата были таковы:

– 1-го января каждого года долг возрастает на 14 % по сравнению с концом предыдущего года;

– выплата части долга происходит с февраля по июнь каждого года после начисления процентов.

Кредит был погашен двумя равными платежами по 4 548 600 рублей (то есть за два года). Какую сумму банк выдал в кредит?

Решение

Х

= + = + = 3 990 000 + 3 500 000 = 7 490 000 (руб.)

– сумма, которую банк выдал в кредит.

Ответ: 7 490 000 рублей

Задача №9

15 января планируется взять кредит в банке на сумму 6 902 000 рублей. Условия его возврата таковы:

– 1-го января каждого года долг возрастает на 12,5% по сравнению с концом предыдущего года;

– выплата части долга происходит в январе каждого года равными суммами после начисления процентов.

Какую сумму нужно возвращать банку ежегодно, чтобы выплатить долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Решение

Х

= +++; 6902000 = v(+++);

6 902 000 = v; 6 902 000 = v;

v

= =3506 561 = 2 296 350 (руб.) – сумма, которую нужно возвращать банку ежегодно.

Ответ; 2 296 350 рублей

Задача №10

15 января 2012 года банк выдал кредит на сумму 1 млн. рублей. Условия его возврата таковы:

– 1-го января каждого года долг возрастает на a% по сравнению с концом предыдущего года;

– выплата части долга происходит в январе каждого года после начисления процентов.

Кредит был погашен за два года, и при этом в первый год была переведена сумма в 600 тыс. рублей, а во второй раз – 550 тыс. рублей.

Найдите a.

Решение

1 000 000 = +; 20 = +; 20(1+0,01a)2 – 12(1+0,01a) – 11 = 0.

Введём новую переменную: 1+0,01a = х и решим уравнение 20х2 – 12х – 11 = 0. D = 1024 = 322.

х1 = — 0,5 х2 = 1,1,
1). 1+0,01a = -0,5; 2). 1+0,01a = 1,1;
0,01a = -1,5; 0,01a = 1,1;
a = -150 (не имеет смысла). a = 10.

Ответ: 10%

Список литературы

    ЕГЭ-2016: Математика: 30 вариантов экзаменационных работ для подготовки к единому государственному экзамену: профильный уровень / под ред. И. В. Ященко. – Москва: АСТ: Астрель, 2016. – 135 с. – (Государственная итоговая аттестация).

  1. Математика. ЕГЭ. 2015. Книга II. Профильный уровень / Д. А. Мальцев, Л. И. Мальцева. – Ростов н/Д: Издатель Мальцев Д. А.; М.: Народное образование, 2015. – 412 с.
  2. ВИДЕО ПО ТЕМЕ: Математика В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн рублей

    15 января планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 11 месяцев. Условия его возврата таковы: 1 числа каждого месяца.

    ЕГЭ. Задание 17. Экономическая задача

    Пусть \(\displaystyle x\) тысяч рублей – сумма долга на 10-е число 10-го месяца.

    Обозначим за \(\displaystyle y\) сумму, на которую уменьшается долг на 10-е число каждого месяца вплоть до предпоследнего.

    Сначала разберем как формируются выплаты в каждом месяце.

    Для этого разберем первый шаг:

    • 1-го числа каждого месяца долг возрастает на \(\displaystyle 8\)%, то есть долг стал \(\displaystyle 800+\frac{8}{100}\cdot x=1.08\cdot 800{\small ,}\)
    • со 2-го по 9-ое число выплачивается часть долга,
    • 10-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть меньше на \(\displaystyle y\) тысяч рублей, то есть долг стал \(\displaystyle 800-y\) тысяч рублей.

    Чтобы долг уменьшился с \(\displaystyle 800\) тысяч рублей до \(\displaystyle 800-y\) тысяч рублей, необходимо:

    1. выплатить начисленные проценты: \(\displaystyle 0.08\cdot 800{\small ; }\)
    2. выплатить \(\displaystyle y\) тысяч рублей.

    Следовательно, выплата в первый месяц – это сумма процентов и \(\displaystyle y\) тысяч рублей:

    \(\displaystyle 0.08 \cdot 800+y{\small .}\)

    Аналогично формируется выплата в каждом месяце, кроме последнего:

    начисленные проценты+\(\displaystyle y\) тысяч рублей.

    Составим таблицу выплат:
     

    Шаг Долг Проценты Выплаты
     

     

     

    \(\displaystyle 800\)

       
    1

     

     

    \(\displaystyle 800-y\)

    \(\displaystyle \color{blue}{0.08\cdot 800}\)

    \(\displaystyle \color{blue}{0.08\cdot 800}+y\)
    2

     

     

    \(\displaystyle 800-2\cdot y\)

    \(\displaystyle \color{blue}{0.08(800-y)}\) \(\displaystyle \color{blue}{0.08(800-y)}+y\)
    3

     

     

    \(\displaystyle 800-3\cdot y\)

    \(\displaystyle \color{blue}{0.08(800-2\cdot y)}\) \(\displaystyle \color{blue}{0.08(800-2\cdot y)}+y\)
    \(\displaystyle \dots\) \(\displaystyle \dots\) \(\displaystyle \dots\) \(\displaystyle \dots\)
    10

     

     

    \(\displaystyle \color{green}{800-10\cdot y}\)

    \(\displaystyle \color{blue}{0.08(800-9\cdot y)}\) \(\displaystyle \color{blue}{0.08(800-9\cdot y)}+y\)
    11 \(\displaystyle 0\)

    \(\displaystyle \color{blue}{0.08(800-10\cdot y)}\)

     

     

    \(\displaystyle \color{blue}{0.08(800-10\cdot y)}+\color{green}{x-10\cdot y}\)

     

    Из таблицы получаем, что долг на 10-е число 10-го месяца равен \(\displaystyle \color{green}{800-10\cdot y}{\small ,}\) и, следовательно,

    \(\displaystyle \color{red}{x=800-10\cdot y}{\small .}\)

    Найдем общую сумму выплат:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} \color{blue}{0.08\cdot 800}+y+\color{blue}{0.08(800-y)}+y+\color{blue}{0.08(800-2\cdot y)}+y+\ldots+\color{blue}{0.08(800-9\cdot y)}+y\,+\\+\color{blue}{0.08(800-10\cdot y)}+\color{green}{800-10\cdot y}{\small . }\end{array}\)

    Выделим цветом подобные слагаемые:

    \(\displaystyle \begin{array}{l} 0.08\cdot \color{blue}{800}+\color{green}{y}+0.08(\color{blue}{800}-\color{red}{y})+\color{green}{y}+ 0.08(\color{blue}{800}-\color{red}{2\cdot y})+\color{green}{y}+\ldots+0.08(\color{blue}{800}-\color{red}{9\cdot y})+\color{green}{y}\,+\\+0.08(\color{blue}{800}-\color{red}{10\cdot y})+800-10\cdot y {\small . }\end{array}\)

    Сгруппируем их:

    \(\displaystyle \small \color{green}{\underbrace{y+y+y+\ldots+y}_{10\, раз}}\,+0.08(\color{blue}{\underbrace{800+800+800+\ldots+800+800}_{11 \, раз}}\,)-0.08\cdot \color{red}{y}\,(\color{red}{1}+\color{red}{2}+\ldots+\color{red}{9}+\color{red}{10})+800-10\cdot y {\small .}\)

    Вычислим сумму арифметической прогрессии:

    \(\displaystyle \color{red}{1}+\color{red}{2}+\ldots+\color{red}{9}+\color{red}{10}=\color{red}{\frac{(1+10)}{2}\cdot 10}{\small .}\)

    По условию, общая сумма выплат равна \(\displaystyle 1240{\small .}\) Тогда

    \(\displaystyle 1240=\color{green}{10\cdot y}+0.08\cdot \color{blue}{11\cdot 800}-0.08\color{red}{y}\color{red}{\frac{(1+10)}{2}\cdot 10}+800-10\cdot y{\small ,}\)

    сократим \(\displaystyle \color{green}{10\cdot y}\) и \(\displaystyle 10\cdot y{\small ,}\)

    \(\displaystyle 1240=0.08\cdot \color{blue}{11\cdot 800}-0.08\color{red}{y}\color{red}{\frac{(1+10)}{2}\cdot 10}+800{\small .}\)

    Следовательно,

    \(\displaystyle y=\frac{\small 0.08\cdot 11\cdot 800+800-1240}{\small 0.08\cdot \frac{(1+10)}{2}\cdot 10}{\small ,}\)

    \(\displaystyle y=\frac{\small 264}{\small 4{,}4}\)

    и

    \(\displaystyle y=60{\small .}\)

    Подставляя \(\displaystyle y=60\) в выражение \(\displaystyle \color{red}{x=800-10\cdot y}{\small , }\) получаем:

    \(\displaystyle x=800-10\cdot 60{\small ,}\)

    \(\displaystyle x=200{\small .}\)

    Таким образом, на 10-е число 10-го месяца сумма долга составляла \(\displaystyle 200\) тысяч рублей.

    Ответ: \(\displaystyle 200\) тысяч рублей.

    го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы: 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по.